روشهای تکراری sor و ssor و همگرایی آنها

در این پایان نامه به بررسی روشهای تکراری sor و ssor در مورد دستگاه معادلات خطی axb می پردازیم. نخستین فصل را به معرفی این روشهای تکراری و ارائه قضایای اساسی همگرایی اختصاص داده ایم. روش فوق تخفیف نقطه ای در سال 1950 توسط فرانک و یانگ معرفی شد. سپس در سال های 1950 و 1954 توسط یانگ تعمیم داده شد. وی نشان داد که این روشها برای ماتریس هایی که در تعریف "خاصیت a" صدق می کند نیز به کار گرفته می شوند. اساسی ترین قضیه روش sor، قضیه ای در مورد همگرایی این روش است که توسط کاهان ارائه شده است . و بازه ای را برای پارامتر w به دست می دهد. در فصل دوم روشهای sor و ssor را در مورد ماتریس های معین مثبت بررسی کرده ایم و قضیه استروفسکی - ریچ را که شرط لازم و کافی برای همگرایی روش sor را می دهد آورده ایم. همچنین مشابه این قضیه را در رابطه با روش ssor در بخش دوم ارائه داده و نیز کرانهایی برای شعاع طیفی ماتریس روش تکرار ssor به دست آورده ایم. در انتهای فصل بردار خطا را برای روش sor در حالت خاصی که ماتریس b، یک ماتریس متقارن است ارزیابی کرده و برای آن کرانی به دست آورده ایم. فصل سوم، در مورد ماتریس های p دوری و به طور مرتب سازگار می باشد و روش sor و ssor را در مورد این چنین ماتریسهایی مورد بررسی قرار می دهیم. در سال 1959 وارگا روش فوق تخفیف متوالی را برای دستگاه معادلات خطی axb که در آن ماتریس a دوری با شاخص p باشد تعمیم داد. و رابطه ای بین مقادیر ویژه ماتریس ژاکوبی ba و ماتریس روش تکرار sor به دست آورد. ما نیز این رابطه را از طریق دیگر، متفاوت با روش وارگا به دست می آوریم. سپس با معرفی روش تکرار p گامی فوق تخفیف ، پارامتر بهینه این روش را پیدا می کنیم. معادله تابعی مشابهی نیز در مورد روش ssor معرفی می کنیم. بالاخره در فصل چهارم، h ماتریس ها مورد نظر خواهند بود و نتایجی در مورد همگرایی روش sor و همگرایی روش ssor در مورد h ماتریس ها، ارائه می دهیم. آنگاه بازه ای برای w به دست می آوریم که در آن بازه ماتریس روش ssor به ازای هر ماتریس متعلق به مجموعه hv همگرا خواهد بود. در انتها توسط نموداری، ناحیه همگرایی و واگرایی را برای h ماتریس ها، مشخص کرده ایم.